Ciencias Exactas: CLASE DE MATEMATICA GRADO 11° DEL 22 DE MAYO DEL 2024 SEMANA #14 TEMA: OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

	ÁREA: MATEMATICA	GRADO: 11°
	DOCENTE: ENAIDO MALDONADO POLO	CORREO: matematica. ceqa@gmail.com
	FECHA: DEL 22 DE MAYO DEL 2024	PERIODO: SEGUNDO
	VALOR: SENTIDO DE PERTENENCIA	FRASE: "SOMOS CEQUEANISTAS FORMADOS EN VALOR, LLEVAMOS EN LA SANGRE RESPETO EDUCACION"

FECHA: DEL 22 DE MAYO DEL 2023

GRADO: 11°

TEMA: OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

SUBTEMA: OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

LOGRO. Reconoce como se operan funciones y como se comportan sus dominios

ACTIVIDAD PREVIA: Exploro mis conocimientos. ¿Qué es una función trigonométrica?. lluvia de ideas.

OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

En este post te explicamos qué operaciones se pueden hacer con las funciones. Podrás ver la explicación junto con ejercicios resueltos de operaciones con funciones. Y, por último, encontrarás las propiedades de las operaciones con funciones

Resta de funciones

La imagen de la resta (o diferencia) de dos funciones es la resta de las imágenes de cada función que participa en la operación:

$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

Igual que con la función suma, el dominio de la resta de dos funciones es equivalente a la intersección del dominio de cada función.

$\text{Dom}(f-g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$

De manera que si una función no está definida en algún valor de la variable independiente x, tampoco lo estará la función resultante de la resta.

Veamos cómo se restan dos funciones a través de un ejemplo:

$f(x)=\sqrt{x}\qquad g(x)=\cfrac{3}{x-4}$

Primero restamos las dos funciones:

$(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\sqrt{x}-\cfrac{3}{x-4}$

Y luego determinamos el dominio de la función resta:

$\text{Dom}(f)=[0,+\infty)\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}-\{4\}$

$\text{Dom}(f-g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=[0,4)\cup (4,+\infty)$

Producto de funciones

Para calcular el producto o (multiplicación) de dos funciones, simplemente debemos multiplicar las expresiones de cada función.

$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$

Por otro lado, el dominio de la función producto es el conjunto intersección del dominio de cada función multiplicada.

$\text{Dom}(f\cdot g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$

Por ejemplo, si tenemos las siguientes dos funciones:

$f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}\qquad g(x)=\cfrac{2}{3x+6}$

En primer lugar, hacemos la operación producto con las dos funciones:

$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\sqrt[3]{x^2-1}\cdot\cfrac{2}{3x+6}=\cfrac{2\sqrt[3]{x^2-1}}{3x+6}$

Y, finalmente, hallamos el dominio de la función resultante de la operación:

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}-\{-2\}$

$\text{Dom}(f\cdot g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=(-\infty,-2)\cup (-2,+\infty)$

División de funciones

El resultado numérico de una división (o cociente) de dos funciones corresponde a la siguiente ecuación:

$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

Sin embargo, el dominio de la división de dos funciones es el conjunto intersección del dominio de cada función menos todas las x que anulan la función que actúa como divisor, ya que si no obtendríamos una indeterminación.

$\displaystyle\text{Dom}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)-\{x:g(x)=0\}$

A modo de ejemplo, vamos a dividir las siguientes funciones:

$f(x)=5^x \qquad g(x)=x-3$

La división de las funciones es:

$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\cfrac{5^x}{x-3}$

Por otra parte, el dominio de cada función por separado son todos los números reales

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}$

Sin embargo, como en el denominador de una fracción no puede haber un cero, en el dominio de la función resultante tenemos que quitar todos aquellos valores que anulen el denominador (x=3).

$\displaystyle\text{Dom}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)-\{x:g(x)=0\}=\mathbb{R}-\{3\}$

Composición de funciones

La composición de funciones es la operación más difícil de resolver, porque es el concepto más complicado.

La composición de funciones consiste en la aplicación sucesiva de dos funciones. Algebraicamente, la composición de dos funciones se expresa de la siguiente manera:

$(g\circ f)(x)=g\Bigl(f(x)\Bigr)$

Por otro lado, el dominio de la composición de funciones $(g\circ f)(x)$ equivale al conjunto de todos los valores de x en el dominio de la función $f$ tal que $f(x)$ pertenece al dominio de la función $g.$

$\text{Dom}(g\circ f)=\{x\in\text{Dom}(f)\ | \ f(x)\in \text{Dom}(g)\}$

Por ejemplo, dadas las siguientes dos funciones:

$f(x)=x^2+1 \qquad g(x)=3x-4$

Para hallar la función compuesta $f$ seguida de $g$ tenemos que sustituir la expresión de $f(x)$ donde haya una $x$ en la expresión de $g(x):$

$\begin{aligned}(g\circ f)(x)&=g\Bigl(f(x)\Bigr)\\[2ex]&= g\Bigl(x^2+1\Bigr)\\[2ex]&=3(x^2+1)-4\\[2ex]&=3x^2+3-4\\[2ex]&=3x^2-1\end{aligned}$

En este caso, el dominio de las dos funciones son todos los números reales, por lo que el dominio de la función compuesta también serán todos los números reales.

$\text{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}$

Como puedes comprobar, la composición de funciones una operación nada fácil de entender. Por eso te recomendamos que practiques de hacer los siguientes ejercicios resueltos de la composición de funciones:

ACTIVIDAD EN CASA:

REALIZA PAGINA 76 PUNTOS 1, 2 Y 4

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jueves, 16 de mayo de 2024

CLASE DE MATEMATICA GRADO 11° DEL 22 DE MAYO DEL 2024 SEMANA #14 TEMA: OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

Resta de funciones

Producto de funciones

División de funciones

Composición de funciones

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