Ciencias Exactas: CLASE DE GEOMETRIA GRADO 11° DEL 26 DE SEPT DEL 2024 SEMA#29 TEMA : LA HIPERBOLA EJERCICIOS PROPUESTOS

	ÁREA: GEOMETRIA	GRADO: 11°
	DOCENTE: ENAIDO MALDONADO POLO	CORREO: matematica. ceqa@gmail.com
	FECHA: DEL 26 DE SEPT DEL 2024	PERIODO: CUARTO
	VALOR: LA AMISTAD Y LA PAZ	FRASE: "SOMOS INTEGRALES ASI NOS HIZO DIOSQUERIDOS AMIGOS OFRECE ESTA OPCION EDUCACION EN SABERES,VALOR Y FORMACION BUSCANDO EN NOSOTRO SIEMPRE LO MEJOR"

FECHA: DEL 26 DE SEPTIEMBRE DEL 2024

GRADO: 11°

TEMA: LA HIPERBOLA

SUBTEMA: EJERCICIOS PROPUESTOS

LOGRO. Identifica las secciones cónicas, las clasifica y realiza operaciones básicas aplicando la ecuación fundamental ellas.

ACTIVIDAD PREVIA: Exploro mis conocimientos. ¿Qué es la hipérbola?. lluvia de ideas.

Ejercicios resueltos de hipérbolas

A continuación puedes practicar los conceptos que hemos visto con problemas y ejercicios resueltos de hipérbolas y de la ecuación de la hipérbola.

Ejercicio 1

¿Cuál es la ecuación de la hipérbola con centro en el punto (-1,3), una longitud del semieje real de 3 unidades y una longitud del semieje imaginario (paralelo al eje Y) de 7 unidades?

SOLUCION:

Para hallar la ecuación de la hipérbola simplemente tenemos que aplicar la fórmula de la ecuación ordinaria de la hipérbola:

$\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}-\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$

Sustituimos las coordenadas del centro de la hipérbola en la ecuación:

$\cfrac{(x-(-1))^2}{a^2}-\cfrac{(y-3)^2}{b^2} = 1$

$\cfrac{(x+1)^2}{a^2}-\cfrac{(y-3)^2}{b^2} = 1$

Y, finalmente, sustituimos los valores de las incógnitas $a$ y $b:$

$\cfrac{(x+1)^2}{3^2}-\cfrac{(y-3)^2}{7^2} = 1$

$\cfrac{\bm{(x+1)^2}}{\bm{9}}\bm{-}\cfrac{\bm{(y-3)^2}}{\bm{49}} \bm{= 1}$

Ejercicio 2

Halla las coordenadas del centro, los vértices, los focos, el valor de la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación viene definida por:

$\cfrac{x^2}{25}-\cfrac{y^2}{144} = 1$

SOLUCION:

Antes de nada, debemos notar que la variable negativa de la ecuación es la variable y, por lo que las ramas de la hipérbola se abrirán hacia la derecha y hacia la izquierda (eje focal paralelo al eje X).

En segundo lugar, la ecuación corresponde a la ecuación canónica (o reducida) de la hipérbola, así que su centro es el origen de coordenadas.

$\bm{O(0,0)}$

Una vez sabemos el centro de la hipérbola, para calcular todo lo otro debemos encontrar el valor del semieje real (parámetro $a$ ) y del semieje imaginario (parámetro $b$ ). Ambos los podemos deducir a partir de la fórmula de la ecuación canónica (o reducida) de la hipérbola:

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2} = 1$

$\cfrac{x^2}{25}-\cfrac{y^2}{144} = 1$

$a^2 = 25$

$a = \sqrt{25}$

$a = 5$

$b^2 = 144$

$b= \sqrt{144}$

$b = 12$

De manera que si hay una distancia de 5 unidades entre el centro y los vértices, implica que los vértices de las hipérbolas son:

$\bm{A(-5,0) \qquad A'(5,0)}$

Para determinar las coordenadas de cada foco, debemos averiguar el valor de la semidistancia focal (parámetro $c$ ). Y, para ello, podemos usar la fórmula que relaciona los elementos de una hipérbola:

$c^2 = a^2+b^2$

$c = \sqrt{a^2+b^2}$

$c = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{169} =13$

Por lo tanto, hay un espacio de 13 unidades entre el centro y los focos. Con lo que las coordenadas de cada foco son:

$\bm{F(-13,0) \qquad F'(13,0)}$

Luego, para calcular la excentricidad de la hipérbola debemos utilizar su fórmula correspondiente:

$e= \cfrac{c}{a} = \cfrac{13}{5} = \bm{2,6}$

Y, por último, hallamos las asíntotas de la hipérbola con sus fórmulas:

$y= \cfrac{b}{a} x \ \longrightarrow \ \bm{y=}\mathbf{\cfrac{12}{5}}\bm{ x}$

$y= -\cfrac{b}{a}x \ \longrightarrow \ \bm{y=-}\mathbf{\cfrac{12}{5}}\bm{ x}$

Ejercicio 3

Calcula la ecuación de la hipérbola con centro en el origen de coordenadas sabiendo que la diferencia de distancias desde un punto de la hipérbola hasta los focos F(-4,0) y F(4,0) es de 6 unidades.

SOLUCION:

Primero de todo, como la hipérbola tiene el centro en el origen de coordenadas, utilizaremos la ecuación canónica o reducida:

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2} = 1$

Luego, según la definición de hipérbola, el valor absoluto de la diferencia de distancias de cualquiera de sus puntos hasta los focos (que en este caso es 6) debe ser igual a la longitud del eje real ( $2a$ ). Por tanto:

$\lvert d_1 - d_2 \rvert = 2a$

$6 = 2a$

$\cfrac{6}{2} = a$

$3 = a$

Por otro lado, el centro de la hipérbola es el punto (0,0) y un foco el punto (4,0). De modo que la distancia en ambos puntos (parámetro $c$ ) son 4 unidades.

$c =4$

Ahora podemos averiguar el valor del parámetro $b$ con la relación matemática que hay entre los 3 coeficientes característicos de la hipérbola:

$c^2 = a^2+b^2$

$b^2 = c^2-a^2$

$b = \sqrt{c^2-a^2}$

$b= \sqrt{4^2-3^2} = \sqrt{16-9} =\sqrt{7}$

Así que la ecuación de la hipérbola es:

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2} = 1$

$\cfrac{x^2}{3^2}-\cfrac{y^2}{\left(\sqrt{7}\right)^2} = 1$

$\cfrac{\bm{x^2}}{\bm{9}}-\cfrac{\bm{y^2}}{\bm{7}} \bm{= 1}$

ACTIVIDAD EN CASA:

RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

1. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola con centro en el punto (-3,4), una longitud del semieje real de 5 unidades y una longitud del semieje imaginario (paralelo al eje Y) de 12 unidades?

2. Halla las coordenadas del centro, los vértices, los focos, el valor de la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación viene definida por:

x^2/36-y^2/81=1

3. Calcula la ecuación de la hipérbola con centro en el origen de coordenadas sabiendo que la diferencia de distancias desde un punto de la hipérbola hasta los focos F(-7,0) y F(7,0) es de 10 unidades.

Primero de todo, como la hipérbola tiene el centro en el origen de coordenadas, utilizaremos la ecuación canónica o reducida:

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2} = 1$

$\lvert d_1 - d_2 \rvert = 2a$

$6 = 2a$

$\cfrac{6}{2} = a$

$3 = a$

Por otro lado, el centro de la hipérbola es el punto (0,0) y un foco el punto (4,0). De modo que la distancia en ambos puntos (parámetro $c$ ) son 4 unidades.

$c =4$

Ahora podemos averiguar el valor del parámetro $b$ con la relación matemática que hay entre los 3 coeficientes característicos de la hipérbola:

$c^2 = a^2+b^2$

$b^2 = c^2-a^2$

$b = \sqrt{c^2-a^2}$

$b= \sqrt{4^2-3^2} = \sqrt{16-9} =\sqrt{7}$

Así que la ecuación de la hipérbola es:

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2} = 1$

$\cfrac{x^2}{3^2}-\cfrac{y^2}{\left(\sqrt{7}\right)^2} = 1$

$\cfrac{\bm{x^2}}{\bm{9}}-\cfrac{\bm{y^2}}{\bm{7}} \bm{= 1}$

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viernes, 20 de septiembre de 2024

CLASE DE GEOMETRIA GRADO 11° DEL 26 DE SEPT DEL 2024 SEMA#29 TEMA : LA HIPERBOLA EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicios resueltos de hipérbolas

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

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