CLASE DE MATEMATICA GRADO 10° DEL 24 DE SEPT DEL 2024 SEMANA #29 TEMA: IDENTIDADES PARA ANGULOS DOBLES Y MEDIOS

 

	ÁREA: MATEMATICA	GRADO: 10°
	DOCENTE: ENAIDO MALDONADO POLO	CORREO: matematica. ceqa@gmail.com
	FECHA: DEL 24 DE SEPT DEL 2024	PERIODO: CUARTO
	VALOR: LA AMISTAD Y LA PAZ	FRASE:  "SOMOS INTEGRALES ASI NOS HIZO DIOSQUERIDOS AMIGOS OFRECE ESTA OPCION EDUCACION EN SABERES,VALOR Y FORMACION BUSCANDO EN NOSOTRO SIEMPRE LO MEJOR"

FECHA: DEL 24 DE SEPT  DEL 2024

 GRADO: 10°

TEMA: IDENTIDADES PARA ANGULOS DOBLES Y MEDIOS

SUBTEMA: IDENTIDADES PARA ANGULOS DOBLES Y MEDIOS

LOGRO. Usa las identidades fundamentales para validar otras identidades o equivalencia de expresiones trigonométricas.

ACTIVIDAD PREVIA: Exploro mis conocimientos. "Comparando áreas" lluvia de ideas.

 EXPLORO PAGINA 135.

IDENTIDADES PARA ANGULOS DOBLES Y MEDIOS.

Las identidades de ángulo doble (estas realmente son solo casos especiales de las fórmulas de Bhaskara Acharya, donde u = v )

Ejemplo:

Reescriba en una forma más simple usando una identidad trigonométrica:

2sin(5 p )cos(5 p )

Usando la fórmula de ángulo doble para el seno, donde

Aplicando la fórmula, obtenemos

  

IDENTIDADES PARA ANGULOS MEDIOS.

Ejemplo:

Determine el valor correcto de cos15° .

¿Cuáles son las identidades de ángulos medios?

Las identidades de ángulos medios son identidades trigonométricas que son usadas para calcular o simplificar expresiones con ángulos medios, como $\sin (\frac{�}{2})$. Estas identidades también pueden ser usadas para transformar expresiones trigonométricas con exponentes a una sin exponentes.

La identidad de ángulo medio del seno es:

$\sin (\frac{�}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (�)}{2}}$

La identidad de ángulo medio del coseno es:

$\cos (\frac{�}{2})=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (�)}{2}}$

La identidad de ángulo medio de la tangente es:

$\tan (\frac{�}{2})=\frac{\sin (�)}{1+\cos (�)}$ $=\frac{1-\cos (�)}{\sin (�)}$

¿Cómo derivar las identidades de ángulos medios?

Las identidades de ángulos medios pueden ser derivadas usando las identidades de ángulos dobles.

Para derivar la fórmula de la identidad de ángulo medio de senos, empezamos con la identidad de ángulos dobles de cosenos:

$\cos (2�)=1-2{\sin }^{}(�)$

Si es que usamos la relación $�=\frac{�}{2}$, tenemos $2�=�$. Sustituyendo estas expresiones en la identidad de arriba, tenemos:

$\cos (�)=1-2{\sin }^{}(\frac{�}{2})$

Ahora, resolvemos esta expresión para $\sin (\frac{�}{2})$:

$\cos (�)=1-2{\sin }^{}(\frac{�}{2})$

$2{\sin }^{}(\frac{�}{2})=1-\cos (�)$

${\sin }^{}(\frac{�}{2})=\frac{1-\cos (�)}{2}$

$\sin (\frac{�}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (�)}{2}}$

El signo de $\sin (\frac{�}{2})$ depende del cuadrante en el que $\frac{�}{2}$ se ubique. Si es que $\frac{�}{2}$ está en el primer o segundo cuadrante, la fórmula usa el signo positivo y si es que $\frac{�}{2}$ está en el tercer o cuarto cuadrante, la fórmula usa el signo negativo.

Usamos un proceso similar para encontrar la identidad de ángulo medio de coseno. Entonces, empezamos con la identidad de doble ángulo del coseno en la siguiente forma:

$\cos (2�)=2{\cos }^{}(�)-1$

Luego de realizar las sustituciones, obtenemos:

$\cos (�)=2{\cos }^{}(\frac{�}{2})-1$

Ahora, resolvemos para $\cos (\frac{�}{2})$:

$\cos (�)=2{\cos }^{}(\frac{�}{2})-1$

$2{\cos }^{}(\frac{�}{2})=1+\cos (�)$

${\cos }^{}(\frac{�}{2})=\frac{1+\cos (�)}{2}$

$\cos (\frac{�}{2})=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (�)}{2}}$

En este caso, si es que $\frac{�}{2}$ está en el primer o cuarto cuadrante, la fórmula usa el signo positivo y si es que $\frac{�}{2}$ está en el segundo o tercer cuadrante, la fórmula usa el signo negativo.

Ejercicios de identidades de ángulos medios resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos usando lo aprendido sobre las identidades de ángulos medios. Estudia y analiza estos ejercicios para entender el proceso usado.

EJERCICIO 1

Usa la identidad de ángulo medio del seno para encontrar el valor de seno de 15

Usamos la fórmula de la identidad del ángulo medio del seno con el valor dado. Entonces, tenemos:

$\sin (\frac{�}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (�)}{2}}$

$\sin (15^{\circ })=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (30^{\circ })}{2}}$

$=\pm \sqrt{\frac{1-0.866}{2}}$

$=0.259$

Usamos el valor positivo ya que 15° está en el primer cuadrante.

EJERCICIO 2

Determina el valor del coseno de 165° usando la identidad del ángulo medio del coseno

Para usar la identidad del ángulo medio del coseno, usamos el ángulo $\frac{�}{2}=165$°. Esto significa que tenemos $�=330$°. Entonces, usamos la fórmula con estos valores:

$\cos (�)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (�)}{2}}$

$\cos (165^{\circ })=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (330^{\circ })}{2}}$

$=\pm \sqrt{\frac{1+0.866}{2}}$

$=-0.966$

Escogimos el valor negativo, ya que el ángulo 165° está en el segundo cuadrante.

ACTIVIDAD EN CASA:

EJERCICIO 1

Comprueba que la identidad $2{\sin }^{}(\frac{�}{2})+\cos (�)=1$.