Ciencias Exactas: CLASE DE MATEMATICA GRADO 10° DEL 17 DE OCTUBRE DEL 2024 SEMANA # 33 TEMA: VECTORES

jueves, 17 de octubre de 2024

CLASE DE MATEMATICA GRADO 10° DEL 17 DE OCTUBRE DEL 2024 SEMANA # 33 TEMA: VECTORES

	ÁREA: MATEMATICA	GRADO: 10°
	DOCENTE: ENAIDO MALDONADO POLO	CORREO: matematica. ceqa@gmail.com
	FECHA: DEL 17 DE OCTUBRE DEL 2024	PERIODO: CUARTO
	VALOR: LA AMISTAD Y LA PAZ	FRASE: "SOMOS INTEGRALES ASI NOS HIZO DIOSQUERIDOS AMIGOS OFRECE ESTA OPCION EDUCACION EN SABERES,VALOR Y FORMACION BUSCANDO EN NOSOTRO SIEMPRE LO MEJOR"

FECHA: DEL 17 DE OCTUBRE DEL 2024

GRADO: 10°

TEMA: VECTORES

SUBTEMA: VECTORES EN EL PLANO

LOGRO. Realiza e interpreta las graficas de vectores.

ACTIVIDAD PREVIA: Exploro mis conocimientos. ¿que es un vector? lluvia de ideas.

EXPLORO PAGINA 158.

DIRECCION DE UN VECTOR

La dirección de un vector también es conocida como el sentido del vector y se interpreta geométricamente como el ángulo (menor de 180 grados) que forma la flecha que define el vector con la parte positiva del Eje X.

La dirección un vector $\overrightarrow{v} = \left\langle x , y \right\rangle$ se calcula recurriendo a la trigonometría, pues podemos notar que cualquier vector representa la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos $x$ y $y$ , considerando el siguiente gráfico
Podemos definir las siguientes expresiones trigonométricas.
$\sin(\alpha) = \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert}$
$\cos(\alpha) = \dfrac{x}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert}$
$\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$
Teniendo en cuenta estas igualdades, podemos aplicar las función inversa correspondiente a cada función trigonométrica y así, definimos una fórmula para calcular el ángulo del vector $\overrightarrow{v}$ respecto al Eje X, usando cualquiera de las siguientes igualdades:
$\alpha = \arcsin\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert} \right)$
$\alpha = \arccos\left( \dfrac{x}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert} \right)$

De forma general, se usa la fórmula que involucra el arco coseno, pues es la que determina el ángulo formado entre el vector y el Eje positivo de X directamente.
Veamos en los siguientes ejemplos, como aplicar esta fórmula para calcular la dirección de distintos vectores.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando el vector que parte desde el origen $\overrightarrow{OP} = \left\langle 3 , 4 \right\rangle$ , calcule la dirección de este.
Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que
De esta forma, podemos usar cualquiera de las fórmulas que se han deducido de las funciones trigonométricas para calcular la dirección de este vector, pero primero debemos calcular la norma del vector
$\left\lVert \overrightarrow{OP} \right\rVert \ = \ \sqrt{(3)^2 + (4)^2}$

$\ = \ \sqrt{9 + 16}$

$\ = \ \sqrt{25}$

$\ = \ 5$
Entonces, conociendo la norma del vector, podemos usar la fórmula que involucra el coseno
$\alpha \ = \ \arccos\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{OP} \right\rVert} \right)$

$\ = \ \arccos \left( \frac{3}{5} \right)$

$\ \approx \ 53.13^{\circ}$

Ejemplo 6

Considerando el vector que parte desde el origen $\overrightarrow{u} = \left\langle -2 , 2 \right\rangle$ , calcule la dirección de este.
Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que
De esta forma, podemos usar cualquiera de las fórmulas que se han deducido de las funciones trigonométricas para calcular la dirección de este vector, pero primero debemos calcular la norma del vector
$\left\lVert \overrightarrow{u} \right\rVert \ = \ \sqrt{(-2)^2 + (2)^2}$

$\ = \ \sqrt{4 + 4}$

$\ = \ \sqrt{8}$
Entonces, conociendo la norma del vector, podemos usar la fórmula que involucra el coseno
$\alpha \ = \ \arccos\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{u} \right\rVert} \right)$

$\ = \ \arccos \left( \frac{-2}{\sqrt{8}} \right)$

$\ = \ 135^{\circ}$

Ejemplo 7

Considerando el vector que parte desde el origen $\overrightarrow{v} = \left\langle -5 , -1 \right\rangle$ , calcule la dirección de este.
Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que
De esta forma, podemos usar cualquiera de las fórmulas que se han deducido de las funciones trigonométricas para calcular la dirección de este vector, pero primero debemos calcular la norma del vector
$\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert \ = \ \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2}$

$\ = \ \sqrt{25 + 1}$

$\ = \ \sqrt{26}$
Entonces, conociendo la norma del vector, podemos usar la fórmula que involucra el coseno
$\alpha \ = \ \arccos\left( \dfrac{y}{\left\lVert \overrightarrow{v} \right\rVert} \right)$

$\ = \ \arccos \left( \frac{-5}{\sqrt{26}} \right)$

$\ \approx \ 168.69^{\circ}$

ACTIVIDAD EN CASA:

DADO EL EJERCICIO RESUELVE

1. Considerando el vector que parte desde el origen $\overrightarrow{A} = \left\langle 4 , -2 \right\rangle$ , calcule la dirección de este.

Considerando la gráfica de este vector en el plano cartesiano, tenemos que

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