 | ÁREA: GEOMETRIA | GRADO: 11° |
DOCENTE: ENAIDO MALDONADO POLO | CORREO: matematica. ceqa@gmail.com | |
FECHA: DEL 21 DE MARZO DEL 2024 | PERIODO: PRIMERO | |
VALOR: RESPETO | FRASE: “SOMOS CEQUEAMISTAS FORMADOS EN VALOR, LLEVAMOS EN LA SANGRE RESPETO-EDUCACION” |
FECHA: DEL 21 DE MARZO DEL 2024
GRADO: 11°
TEMA: ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
SUBTEMA:
LOGRO. Reconoce la geometría analítica en el desarrollo para su formación de figuras planas
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Lo primero que debemos tener en cuenta es que la ecuación de la circunferencia describe el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
La ecuación del círculo describe el lugar geométrico del conjunto de puntos cuya distancia al centro es igual o menor que el radio.
De este modo la diferencia entre circunferencia y círculo básicamente es que la circunferencia es únicamente es la línea curva que contiene y bordea, mientras que el círculo es esa línea más todo lo que contiene dentro.
La circunferencia y su ecuación
La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo 
que llamamos centro.
Por lo tanto, cada punto 
de la circunferencia satisface
donde la distancia 
se llama radio. Así, tenemos la siguiente
Elevando al cuadrado la ecuación anterior, obtenemos:
La ecuación anterior se conoce como ecuación ordinaria de la circunferencia. Para obtener la ecuación general debemos desarrollar los binomios al cuadrado:
Luego reagrupamos los términos de la siguiente manera:
Consideramos los siguientes cambios:
Por tanto, la ecuación de la circunferencia se puede escribir de la siguiente manera:
la cual se conoce como la ecuación general de la circunferencia. Aquí, el centro está dado por:
y el radio satisface que:
Es importante notar que la ecuación
debe satisfacer lo siguiente para que describa una circunferencia:
1 Se cumple la siguiente desigualdad
2. No hay ningún término 
(es decir, 
y 
no se multiplican).
3. 
y 
tienen coeficiente 1.
Nota: que en caso de que y tengan coeficiente distinto a 1, entonces ambos deben tener el mismo coeficiente. De esta forma, podemos dividir la ecuación por este coeficiente para obtener la ecuación general de la circunferencia.
Nota: si el centro de la circunferencia coincide con el origen de las coordenadas, entonces la ecuación de la circunferencia (ya sea ordinaria o general) queda reducida a
la cual se conoce como ecuación canónica de la circunferencia.
Ejercicios de ecuación reducida de la circunferencia
1 Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en 
y radio 2.
SOLUCION.
La ecuación ordinaria de la circunferencia es:
mientras que la ecuación general de la circunferencia la obtenemos al desarrollar los binomios al cuadrado:
que al agrupar las constantes, obtenemos
2 Dada la circunferencia cuya ecuación es 
, encuentra su centro y radio.
SOLUCION
Tenemos que el centro está dado por
Por otro lado, el radio satisface:
por lo tanto, el radio es 
.
3 Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 
, 
y 
.
SOLUCION
Para encontrar la circunferencia que pasa por tres puntos, siempre debemos utilizar la ecuación general de la circunferencia, puesto que esto nos hará más sencillo el trabajo.
Así, sustituimos los valores de e en la ecuación:
Al sustituir (es decir, 
y 
), obtenemos 
, es decir,
Similarmente, al sustituir obtenemos 
; y al sustituir tenemos 
. Por lo tanto, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
Resolvemos este sistema de cualquier forma que deseemos (es más sencillo si comenzamos restando la tercera ecuación de la segunda ecuación); una vez resuelto el sistema obtenemos:
De este modo, la ecuación general de la circunferencia es.
ACTIVIDAD EN CASA:
1. Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 
, cuyo radio 
2 . Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5, 7), cuyo radio es 9
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