Ciencias Exactas: CLASE DE GEOMETRIA GRADO 11° DEL 8 DE AGOSTO DEL 2024 SEMANA #24 TEMA : ELIPSE Y SU ECUACION

	ÁREA: GEOMETRIA	GRADO: 11°
	DOCENTE: ENAIDO MALDONADO POLO	CORREO: matematica. ceqa@gmail.com
	FECHA: DEL 8 DE AGOSTO DEL 2024	PERIODO: TERCERO
	VALOR: RESPONSABILIDAD	FRASE: "SOMOS INTEGRALES ASI NOS HIZO DIOSQUERIDOS AMIGOS OFRECE ESTA OPCION EDUCACION EN SABERES,VALOR Y FORMACION BUSCANDO EN NOSOTRO SIEMPRE LO MEJOR"

FECHA: DEL 8 DE AGOSTO DEL 2024

GRADO: 11°

TEMA: LA ELIPSE Y SU ECUACION

SUBTEMA: LA ELIPSE Y SU ECUACION

LOGRO. Construye y plantea situaciones de problemas con las partes de la elipse .

ACTIVIDAD PREVIA: Exploro mis conocimientos. ¿Que es una elipse?. lluvia de ideas.

CONTINUIDAD CLASE ANTERIOR

ECUACION DE LA ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN.

Ecuación de la Elipse con Centro fuera del Origen

ECUACION GENERAL DE LA ELIPSE:

La ecuación general de la elipse es la siguiente:

$\displaystyle A{{x}^{2}}+C{{y}^{2}}+Dx+Ey+F=0$

Con A ≠ C , y ambas cantidades de igual signo.

EJERCICIOS RESUELTO DE LA ECUACION DE LA ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN:

Comencemos a resolver algunos ejemplos de la ecuación de la elipse. Veamos:

Ejemplo 1. Determine los elementos de una elipse con ecuación general de 4x² + 9y² -16x +18y -11 = 0

SOLUCION:

En este primer paso, vamos agrupar en el lado izquierdo de la igualdad a los términos que contengan las mismas variables y del miembro derecho se colocan las constantes. De esta forma:

$\displaystyle \left( 4{{x}^{2}}-16x \right)+\left( 9{{y}^{2}}+18y \right)=11$

Ahora vamos a factorizar en cada grupo el coeficiente del término cuadrado:

$\displaystyle 4\left( {{x}^{2}}-4x \right)+9\left( {{y}^{2}}+2y \right)=11$

Se completa el trinomio al cuadrado perfecta en cada grupo, recordar que se agrega el mismo valor en el miembro derecho.

$\displaystyle 4\left( {{x}^{2}}-4x+{{\left( \frac{4}{2} \right)}^{2}} \right)+9\left( {{y}^{2}}+2y+{{\left( \frac{2}{2} \right)}^{2}} \right)=11+16+9$

De aquí obtenemos:

$\displaystyle 4\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)+9\left( {{y}^{2}}+2y+1 \right)=36$

Se agregó 16 en el lado derecho porque el resultado se multiplica por el 4 fuera del paréntesis, lo mismo ocurre con el otro grupo, se agregó un 9 al lado derecho porque al multiplicar el 9 por 1 obtenemos como resultado 9.

Factorizando lo de los paréntesis, obtenemos:

$\displaystyle 4{{\left( x-2 \right)}^{2}}+9{{\left( y+1 \right)}^{2}}=36$

Se dividen ambos lados de la igualdad por 36 y se simplifica.

$\displaystyle \frac{4{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{36}+\frac{9{{\left( y+1 \right)}^{2}}}{36}=\frac{36}{36}$

Obtenemos lo siguiente:

$\displaystyle \frac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{9}+\frac{{{\left( y+1 \right)}^{2}}}{4}=1$

Dónde:

$\displaystyle {{a}^{2}}=9$

$\displaystyle {{b}^{2}}=4$

Al ser el denominador mayor "9" que está justo debajo de "x", entonces decimos que se trata de una elipse horizontal.

También podemos apreciar que:

a = 3

b = 2

Y para obtener c , se puede obtener de la siguiente manera:

$\displaystyle c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}=2.23$

c ≈ 2.23

De aquí podemos deducir los elementos de dicha elipse:

1. Obteniendo el Centro:

De la ecuación (x - h) tenemos (x - 2), por lo que

h = 2

De la ecuación (y - k) tenemos (y+1), por lo que

k = -1

Finalmente, el centro posee coordenadas:

C(2, -1)

2. Obteniendo el lado recto

$\displaystyle \overline{LR}=\frac{2{{b}^{2}}}{a}$

Sustituyendo los valores:

$\displaystyle \overline{LR}=\frac{2{{b}^{2}}}{a}=\frac{2{{(2)}^{2}}}{3}=\frac{8}{3}\approx 2.66$

3. Obteniendo la excentricidad

$\displaystyle e=\frac{c}{a}=\frac{2.23}{3}=0.743$

4. Obteniendo el Vértice

El vértice para una elipse horizontal, tiene la fórmula:

$\displaystyle V(h\pm a,k)$

Entonces, las dos coordenadas para los vértices son:

$\displaystyle {{V}_{2}}(2+3,-1)=(5,-1)$

$\displaystyle {{V}_{1}}(2-3,-1)=(-1,-1)$

5. Obteniendo los Focos

Los focos para una elipse horizontal, tiene la fórmula:

$\displaystyle F(h\pm c,k)$

Entonces, las dos coordenadas para los focos son:

$\displaystyle {{F}_{1}}(2-2.23,-1)={{F}_{1}}(-0.23,-1)$

$\displaystyle {{F}_{2}}(2+2.23,-1)={{F}_{2}}(4.23,-1)$

6. Obteniendo los extremos del eje menor

Los extremos del eje menor, tiene la fórmula:

$\displaystyle B(h,k\pm b)$

Entonces, las dos coordenadas para los extremos del eje menor son:

$\displaystyle {{B}_{1}}(2,-1+2)={{B}_{1}}(2,1)$

$\displaystyle {{B}_{2}}(2,-1-2)={{B}_{2}}(2,-3)$

7. Gráfica de la Elipse

Elipse con Centro fuera del Origen Ejercicios

ACTIVIDAD EN CASA:

DETERMINE LOS ELEMENTOS DE UNA ELIPSE CON ECUACION GENERAL

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jueves, 8 de agosto de 2024

CLASE DE GEOMETRIA GRADO 11° DEL 8 DE AGOSTO DEL 2024 SEMANA #24 TEMA : ELIPSE Y SU ECUACION

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