CLASE DE MATEMATICA GRADO 10° DEL 15 DE AGOSTO DEL 2024 SEM # 24 TEMA: IDENTIDADES DE SUMA Y RESTA DE ANGULOS

	ÁREA: MATEMATICA	GRADO: 10°
	DOCENTE: ENAIDO MALDONADO POLO	CORREO: matematica. ceqa@gmail.com
	FECHA: DEL 15 DE AGOSTO DEL 2024	PERIODO: TERCERO
	VALOR: RESPONSABILIDAD	FRASE:  "SOMOS INTEGRALES ASI NOS HIZO DIOSQUERIDOS AMIGOS OFRECE ESTA OPCION EDUCACION EN SABERES,VALOR Y FORMACION BUSCANDO EN NOSOTRO SIEMPRE LO MEJOR"

FECHA: DEL 15 DE AGOSTO  DEL 2024

 GRADO: 10°

TEMA: IDENTIDADES DE SUMA Y RESTA DE ANGULOS

SUBTEMA: IDENTIDADES DE SUMA Y RESTA DE ANGULOS

LOGRO. Usa las identidades fundamentales para validar otras identidades o equivalencia de expresiones trigonométricas.

ACTIVIDAD PREVIA: Exploro mis conocimientos. "exploradores en apuros" lluvia de ideas.

 

EXPLORO PAGINA 134.

IDENTIDADES DE SUMA Y RESTA DE ANGULOS

Identidades de Suma y Resta de Ángulos con Ejercicios

Las identidades de suma y resta de ángulos son identidades trigonométricas usadas para calcular los valores de ángulos. Estas identidades pueden ser usadas para reescribir a los ángulos como una suma o una resta de ángulos comunes. Por ejemplo, para calcular el seno o el coseno de 15°, podemos reescribir al 15 como la resta de 45 y 30 ya que los valores de los senos y cosenos de 45° y 30° son los más comunes y son generalmente conocidos.

A continuación, aprenderemos a derivar las identidades de suma y resta de ángulos y las aplicaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.

¿Cuáles son las identidades de suma y resta de ángulos?

Las identidades de suma y resta de ángulos son identidades trigonométricas, las cuales pueden ser usadas para encontrar los valores de funciones trigonométricas de cualquier ángulo.

Sin embargo, el uso más práctico de estas identidades es para encontrar los valores exactos de un ángulo que puede ser escrito como una suma o diferencia de valores familiares para seno, coseno y tangente de los ángulos 30°, 45°, 60°, 90° y sus múltiplos.

Las identidades de la suma de ángulos son:

$\sin (�+�)=\sin (�)\cos (�)+\cos (�)\sin (�)$ $\cos (�+�)=\cos (�)\cos (�)-\sin (�)\sin (�)$ $$tan⁡(�+�)=tan⁡(�)+tan⁡(�)1−tan⁡(�)tan⁡(�)

Las identidades de la resta de ángulos son:

$\sin (�-�)=\sin (�)\cos (�)-\cos (�)\sin (�)$ $\cos (�-�)=\cos (�)\cos (�)+\sin (�)\sin (�)$ $\tan (�-�)=\frac{\tan (�)-\tan (�)}{1+\tan (�)\tan (�)}$

EJERCICIO 1

Encuentra el valor exacto del coseno de 75° usando una identidad de suma de ángulos.

SOLUCION:

Podemos usar la identidad de la suma de ángulos de cosenos, ya que 75° es igual a la suma de 30° y 45°. Entonces, tenemos:

$$\cos (�+�)=\cos (�)\cos (�)-\sin (�)\sin (�)$$

$$\cos (30+45)=\cos (30)\cos (45)-\sin (30)\sin (45)$$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}$

$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

El valor del coseno de 75° es $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

EJERCICIO 2

Usa una identidad de resta de ángulos para encontrar el valor exacto del seno de 15°.

SOLUCION.

Podemos usar la identidad de la resta de ángulos de senos, ya que 15° es igual a la resta de 45° y 30°. Entonces, tenemos:

$$\sin (�-�)=\sin (�)\cos (�)-\cos (�)\sin (�)$$

$$\sin (45-30)=\sin (45)\cos (30)-\cos (45)\sin (30)$$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}$

$=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}$

$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Esto significa que el valor exacto del seno de 15° es $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

EJERCICIO 3

Encuentra el valor exacto de $\cos (\frac{7�}{12})$ usando una identidad de suma de ángulos.

SOLUCION:

Usamos la identidad de suma de cosenos, ya que podemos expresar al ángulo como una suma de ángulos fáciles:

$\cos (\frac{7�}{12})=\cos (\frac{4�}{12}+\frac{3�}{12})$

$=\cos (\frac{�}{3}+\frac{�}{4})$

Usando estos ángulos en la fórmula, tenemos:

$$\cos (�+�)=\cos (�)\cos (�)-\sin (�)\sin (�)$$

$$\cos (\frac{�}{3}+\frac{�}{4})=\cos (\frac{�}{3})\cos (\frac{�}{4})-\sin (\frac{�}{3})\sin (\frac{�}{4})$$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}$

$=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

Esto significa que el valor exacto del coseno de $\frac{7�}{12}$ es $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.

ACTIVIDAD EN CASA:

LOS ANGULOS DEL 1 AL 10