	ÁREA: MATEMATICA	GRADO: 11°
	DOCENTE: ENAIDO MALDONADO POLO	CORREO: matematica. ceqa@gmail.com
	FECHA: DEL 11 DE SEPT DEL 2024	PERIODO: CUARTO
	VALOR: RESPONSABILIDAD	FRASE: "SOMOS INTEGRALES ASI NOS HIZO DIOSQUERIDOS AMIGOS OFRECE ESTA OPCION EDUCACION EN SABERES,VALOR Y FORMACION BUSCANDO EN NOSOTRO SIEMPRE LO MEJOR"

FECHA: DEL 11 DE SEPTIEMBRE DEL 2024

GRADO: 11°

TEMA: INDETERMINACIONES DE LA FORMA 0/0

SUBTEMA: INDETERMINACIONES DE LA FORMA 0/0

LOGRO. Utiliza factorizaciones y racionalizaciones para hallar limites de funciones.

ACTIVIDAD PREVIA: Exploro mis conocimientos. "Discontinuidades evitables". lluvia de ideas.

EXPLORO PAGINA 95

NOTA: CONTINUIDAD CLASE ANTERIOR

INDETERMINACIONES DE LA FORMA 0/0

Recordamos que una indeterminación o forma indeterminada es una expresión algebraica que aparece en el cálculo de límites y cuyo resultado no se puede conocer de antemano.

Por ejemplo, el límite de una función que tiende a $3 / 0$ es $\infty$ . Sin embargo, el límite de una función que tiende a $0 / 0$ puede tomar distintos valores. Por esta razón, decimos que $0 / 0$ es una forma indeterminada o una indeterminación.

En esta página vamos a ver ejemplos de límites con esta indeterminación, pero cuyo resultado es distinto.

Indeterminación cero entre cero (0/0)

En este post te explicamos cómo salvar el límite de una función cuando da la indeterminación 0/0. Además, podrás practicar con ejercicios resueltos de la indeterminación cero entre cero.

Cómo resolver la indeterminación cero entre cero (0/0)

A continuación, vamos a ver cómo calcular el límite de una función cuando da la indeterminación cero entre cero (0/0). Para ello, calcularemos un ejemplo paso a paso:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2-x-2}{x^2-3x+2}$

Primero intentamos calcular el límite sustituyendo el valor de x en la función:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - x -2}{x^2-3x+2}=\frac{2^2 -2-2}{2^2-3\cdot 2+2}=\frac{0}{0}$

Pero obtenemos la indeterminación 0 partido por 0.

Cuando el límite de una función en punto da la indeterminación 0/0, debemos factorizar los polinomios del numerador y del denominador y luego simplificar los factores en común.

Por lo tanto, debemos factorizar los polinomios del numerador y del denominador de la fracción. Para ello, utilizamos la regla de Ruffini:

1. Si no sabes cómo se hace la factorización de un polinomio, te recomendamos que veas la explicación en nuestra página web especializada en polinomios:

De manera que, una vez factorizados los polinomios, el límite queda de la siguiente manera:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \cfrac{x^2-x-2}{x^2-3x+2}=\lim_{x \to 2}\frac{(x+1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}$

Ahora podemos simplificar el límite eliminado los factores que se repiten en el numerador y en el denominador de la fracción:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \cfrac{(x+1)\cancel{(x-2)}}{(x-1)\cancel{(x-2)}}=\lim_{x \to 2} \cfrac{(x+1)}{(x-1)}$

Y, finalmente, volvemos a calcular el límite:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \cfrac{x+1}{x-1}=\cfrac{2+1}{2-1}=\cfrac{3}{1}=\bm{3}$

Como puedes ver, una vez hemos factorizado y simplificado los polinomios, resulta muy fácil hallar la solución del límite.

Indeterminación 0/0 con raíces

Acabamos de ver cómo se resuelven las indeterminaciones 0/0 de funciones racionales. Sin embargo, si el límite es de una función irracional (o radical), la indeterminación 0/0 se soluciona de manera diferente.

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$

En primer lugar, tratamos de resolver el límite haciendo las operaciones:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{1-1}{\sqrt{1}-1}=\frac{0}{0}$

Pero obtenemos la indeterminación cero sobre cero.

Si el límite de una función con raíces da la indeterminación 0/0, debemos multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado de la expresión radical.

➤ Recuerda que el conjugado es la misma expresión irracional pero con el signo del medio cambiado.

Entonces, multiplicamos tanto el numerador como el denominador de la fracción por el conjugado de la expresión radical:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\left(x-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}$

En este tipo de límites, al hacer este paso siempre obtendremos una identidad notable que podremos simplificar. En este caso, en el denominador tenemos el producto de una suma por una diferencia, por tanto:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\left(x-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}\right)^2-1^2}$