 | ÁREA: MATEMATICA | GRADO: 11° |
DOCENTE: ENAIDO MALDONADO POLO | CORREO: matematica. ceqa@gmail.com | |
FECHA: DEL 4 DE OCTUBRE DEL 2024 | PERIODO: CUARTO | |
VALOR: LA AMISTAD Y LA PAZ | FRASE: "SOMOS INTEGRALES ASI NOS HIZO DIOSQUERIDOS AMIGOS OFRECE ESTA OPCION EDUCACION EN SABERES,VALOR Y FORMACION BUSCANDO EN NOSOTRO SIEMPRE LO MEJOR" |
FECHA: DEL 4 DE OCTUBRE DEL 2024
GRADO: 11°
TEMA: NOCION DE DERIVADA
SUBTEMA: NOCION DE DERIVADA.
LOGRO. Reconoce los diferentes tipos de variación de una función.
¡Qué gusto saber de ti! Sigue siendo un placer contar con tu asistencia en este curso, espero que tu ánimo no decaiga pues estás avanzando con pasos seguros en él, por lo tanto, te invito a la clase diez titulada Definición y regla general de la derivada del curso Cálculo Diferencial.
Vamos a comenzar el tema medular del Cálculo Diferencial, la Derivada.
Alguna vez te habrás preguntado para qué servirán las expresiones matemáticas que hemos visto en el transcurso de las clases. Las matemáticas permiten crear modelos teóricos que sirven para explicar fenómenos de la vida real. Podemos aplicar una derivada a esas funciones y determinar una variación que tenga algún significado en algún proceso humano o natural.
¿Cómo es esto?
La derivada de una función nos indica el ritmo con el que una función varía, es decir, crece, decrece o permanece constante cuando se producen pequeños cambios en la variable independiente. Mediante el estudio de funciones y sus derivadas podríamos conocer:
- El contagio de un virus en función del tiempo.
- La variación del espacio en función del tiempo.
- El crecimiento de población humana en función del tiempo.
- El desgaste de un neumático en función del tiempo.
- El beneficio de una empresa en función del tiempo.
- La extinción de una especie animal en función del tiempo.
¿Se te ocurre algo más?
La derivada resulta fundamental en muchas situaciones de la vida cotidiana. En este curso utilizamos derivadas para estudiar el comportamiento de las funciones. Estudiaremos los intervalos de crecimiento, de decrecimiento, los máximos y mínimos relativos y absolutos, los intervalos de concavidad y convexidad, así como los puntos de inflexión. Veremos que las derivadas también sirven para resolver problemas de optimización, es decir, conseguir el valor óptimo de una función sujeta a ciertas condiciones.
Para adentrarnos a este tema empezaremos por comprender el concepto de derivada y empezar a calcularlas por medio de la regla general de la derivada, teoría base, para el resto del tema.
Empezamos. ¡Éxito!
Desarrollo del tema
Las matemáticas tienen su simbología para representar abstracciones que necesitan ser entendidas por la mente humana y la derivada no es la excepción.
La primera derivada de una función y = f(x), puede expresarse en cualquiera de las formas siguientes:
Todas ellas indican la primera derivada de (y) con respecto a (x). Además, las derivadas sucesivas pueden expresarse de la siguiente forma:
La primera derivada de (y) con respecto a (x) se define como “El límite cuando ∆x tiende a cero del cociente ∆y / ∆x”, que en símbolos matemáticos se expresa como: y’ = ∆y / ∆x. También podemos decir que la primera derivada de (y) con respecto a (x), nos expresa qué tanto varía (y) ante una variación que tenga (x). ∆x y ∆y se refieren a esa variación.
Vamos a ver una gráfica que nos ayude a interpretar el concepto de derivada de forma geométrica.
Cuando h tiende a cero, es decir, empieza a disminuir su longitud, puedes ver que el punto Q empieza a aproximarse al punto P, y el cateto QR empieza a disminuir, hasta que Q se confunde con P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por lo tanto en ángulo α tiende a ser β.
Geométricamente, la primera derivada de una función f(x) en un punto dado a es igual a la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto a. A partir de la interpretación geométrica de la derivada se puede deducir la regla general de la derivación, veamos como:
De la figura 10.1 observamos que la pendiente de la secante se define como:
ms = tanα.
Si h = ∆x, del triángulo QRP tenemos que ms = ∆y / ∆x. Del mismo proceso de desplazamiento del punto Q sobre la curva, aproximándose cada vez más al punto P, observamos como ∆x tiende a cero (disminuye), y la recta secante tenderá a convertirse en una recta tangente. Matemáticamente expresamos lo anterior así:
Generalizando la expresión (2) obtenemos la Regla general de la derivación:
En donde:
f(x+∆x) es la función incrementada,
f(x) es la función original y
∆x es el incremento en x.
Vamos a obtener la primera derivada de diferentes funciones usando esta regla general de la derivación.
Ejercicios: Calcule la primera derivada de cada una de las siguientes funciones aplicando la regla general de la derivación. Los que no están resueltos, resuélvelos en la libreta y compara el resultado.
¿Alguna duda sobre el tema?
Conclusión
En resumen, en esta clase conocimos la interpretación geométrica de la derivada. Aprendimos que, a partir de dos puntos en una curva, trazamos una recta secante que nos permitirá trazar un triángulo cuyos catetos miden ∆x y ∆y. Al hacer cada vez más pequeño el valor ∆x, se observa que ∆y también disminuye, y cuando ∆x tiende a cero, el punto superior de la secante se traslapa en su movimiento con el punto fijo inferior, con lo cual la secante pasa a ser una recta tangente, porque ahora solo se observa que toca a la curva en un solo punto. Haciendo un análisis matemático de lo anterior, se encuentra la definición de la pendiente tangente a la función que se está estudiando.
La expresión se generaliza para obtener la primera derivada de la función:
Una definición generalizada de la derivada es la siguiente: La derivada es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. Así como que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
ACTIVIDAD.
EN CASA:
CALCULE LA PRIMERA DERIVADA DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
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