CLASE DE MATEMATICA GRADO 9° DEL 16 DE SEPT DEL 2024 SEM # 28 TEMA: FUNCIONES CUADRATICAS

 

	ÁREA: MATEMATICA	GRADO: 9°
	DOCENTE: ENAIDO MALDONADO POLO	CORREO: matematica. ceqa@gmail.com
	FECHA: DEL 16  DE SEPT DEL 2024	PERIODO: CUARTO
	VALOR: RESPONSABILIDAD	FRASE:   "SOMOS INTEGRALES ASI NOS HIZO DIOSQUERIDOS AMIGOS OFRECE ESTA OPCION EDUCACION EN SABERES,VALOR Y FORMACION BUSCANDO EN NOSOTRO SIEMPRE LO MEJOR"

FECHA: DEL 16 DE SEPTIEMBRE DEL 2024

 GRADO: 9°

TEMA: FUNCIONES CUADRATICAS

SUBTEMA: FUNCION CUADRATICA

LOGRO: Identifica los elementos y el comportamiento de una función cuadrática.

ACTIVIDAD PREVIA: Exploro mis conocimientos. "Analicemos un fenómeno dela naturaleza". lluvia de ideas.

EXPLORO PAGINA 132 DEL LIBRO

FUNCION CUADRATICA.

1. Definición y ejemplo

Una función cuadrática (o parabólica) es una función polinómica de segundo grado. Es decir, tiene la forma

2. Vértice

Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si $a<0$) o un mínimo (si $a>0$). Este punto es el vértice de la parábola.

La primera coordenada del vértice es

Y la segunda coordenada es su imagen:

Ejemplo

Calculamos el vértice de la función

Identificamos los coeficientes:

Como $a$ es negativo, la parábola tiene forma de $\cap$. El vértice es un máximo.

La primera coordenada del vértice es

Calculamos la segunda coordenada:

Por tanto, el vértice es el punto

Gráfica:

3. Puntos de corte con los ejes

Una parábola siempre corta el eje de ordenadas (eje Y) en un punto. Como esto ocurre cuando $x=0$, se trata del punto $(0,c)$ puesto que $f\left(0\right)=c$.

Una función corta al eje de abscisas cuando $y=0$. Por tanto, para hallar estos puntos de corte, tenemos que resolver una ecuación cuadrática:

Como una ecuación cuadrática puede tener una, dos o ninguna solución, puede haber uno, dos o ningún punto de corte con el eje X.

Recordamos la fórmula que necesitamos:

Ejemplo

Calculamos los puntos de corte de la función

Los coeficientes de la ecuación son $a=1$, $b=0$ y $c=-1$.

Eje Y:

El punto de corte con el eje Y es $(0,-1)$.

Eje X:

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

Hay dos soluciones: $x=1$ y $x=-1$.

La segunda coordenada es $0$.

Por tanto, tenemos los puntos de corte

Gráfica:

Puntos de corte de una Función Cuadrática

En este artículo se mostrará cada paso a realizar para encontrar donde corta con cada eje una función cuadrática

Para encontrar los puntos de corte de una función cuadrática se debe tener claro 2 condiciones, la primera es que para que una función corte con el eje “y” la “x” tiene que ser igual a 0, y la segunda es que para que una función corte con el eje “x” el valor de “y” debe ser igual a 0, así como se puede observar en la siguiente imagen.

Ahora comprendiendo cuando se da cada punto de corte, estas son las fórmulas y procesos que se utilizarán para poder encontrar cada punto de corte.

Punto de corte con el eje “y”: se obtiene simplemente evaluando la función cuando “x” es igual a 0, una función cuadrática siempre cortará con el eje “y” aunque en ocasiones esta llega a cortar con “y” en un punto muy elevado o muy bajo pero siempre se llega a una respuesta.

Por ejemplo: Encontrar el punto de corte con el eje "y" en la función f(x) = x² -2x

• f(x) = x² -2x
• f(0) = (0)² -2(0)
• f(0) = 0-0
• f(0) = 0

Punto de corte con el eje “x”: Una función cuadrática tiene 3 variantes con el corte con el eje “x”, la primera opción es que la función corte con el eje “x” 2 veces, la segunda variante es cuándo la parábola corta con el eje x pero solo una vez (esto es cuando el vértice está justo sobre el eje “x” (h=0,k) ), y el tercer escenario es cuando la función nunca corta con el eje “x”, en la práctica se puede saber cuándo la función cuadrática no corta con el eje “x” porque se llega a un procedimiento que no se puede resolver, este siempre será la raíz de un número negativo, pues no se puede encontrar la raíz cuadrática de un número negativo.

Estos se obtiene igualando la función a 0 y despejando a “x”, pero despejar “x” de una ecuación que tiene una “x” al cuadrado y otra "x" elevada a la 1 no es algo sencillo como pasar las letras de un lado a otro y por este motivo hay más de una manera de resolver estas ecuaciones, quizás la más complicada pero la que siempre dará una respuesta es utilizando la formula cuadrática, también hay otros casos donde se puede factorizar la ecuación cuadrática pero esto no siempre se puede realizar, por eso es que es mejor utilizar la formula cuadrática. En caso de que la función no tenga una "x" a la 1, entonces este proceso se haría simplemente despejando "x²" y en estos casos solo habría 1 punto de corte con el eje "x".

Encontrar puntos de corte con la formula cuadrática: cuando se encuentran los puntos de corte con el eje “x” los pasos a seguir son: ordenar la función de la manera ax² + bx + c, e introducir los datos en la ecuación, luego resolver hasta llegar a las dos soluciones.

Fórmula cuadrática

x = -b ± √ (b² - 4ac)/ 2a

Por Ejemplo: encontrar el punto de corte con el eje “x” de la función f(x) = 2x² + 3x + 1.

x = -3 ± √(3² - 4(2)(1) )/2(2)

x = -3 ± √(9 - 8)4

x = -3 ± √14

x = -3 ± 14

Se encuentra x₁

x = -3 + 1/4

x = -2/4

x = -0.5

Se encuentra x₂

x =-3-1/4

x =-4/4

x = -1

Los puntos de corte con "x" son: (-1, 0) y (0.5, 0)

Encontrar puntos de corte factorizando: Lo que se hace aquí es buscar 2 números que sumados den el segundo término y multiplicados den el tercer término, pero en ocasiones no hay manera de encontrar estos números, ya sea porque sean decimales u otro caso.

Por ejemplos: encontrar el punto de corte con el eje “x” de f(x) = 2x² - 2x - 12. Una condición de esta factorización es que el coeficiente del primer término tiene que ser igual a 1, pero en este ejemplo el coeficiente del primer término es 2, entonces se debe convertir este 2 en 1 dividiendo todos los términos entre 2.

• Lo primero que hay que hacer es hacer el coeficiente del primer término 1, para ello se tiene que dividir el término entre 2, pero para mantener la igualdad se hará esto con todos los términos
• 2x²/2 -2x/2 -12/2 = 0
• x² - x - 6 = 0
• Ahora se encuentran dos números que sumados den el segundo término (-1) y multiplicado den el tercero (-6)
• Estos números son 2 y -3, porque:
• 2 + (-3) = 2-3 = -1
• 2 * -3 = -6
• Entonces estos se agregan a dos binomios igualados a 0:
• (x + 2) (x - 3) = 0
• Ahora lo que se hace es igualar cada binomio a 0 y despejar la "x"
• Solución para x₁
• x+2 = 0
• x = -2
• Solución para x₂
• x - 3 = 0
• x = 3

Ejemplos de puntos de cortes

Ejemplo 1: Encontrar los puntos de corte con los ejes de la función f(x) = 2x² + 3x - 4

• Corte con eje "y"
• f(0) = (0)² + 3(0) - 4
• f(0) = 0 + 0 - 4
• f(0) = - 4

• Corte con eje "x"
• Se hará con la fórmula cuadrática
• x = 

-b ± √ (b² - 4ac) /2a

x = -3 ± √ (3² - 4(2) (-4) )/2(2)

x = -3 ± √ (9 +32 )/4

x = -3 ± √ (41)/4

x = -3 ± 6.4/4

Solución para x₁

x₁ = -3 + 6.4/4

x₁ = 3.4/4

x₁ = 0.85

Solución para x₂

x₁ = -3 - 6.4/4

x₁ = -9.4/4

x₂ = 2.35

ACTIVIDAD EN CASA:

Problema 

Calcular el vértice de la siguiente función parabólica: