 | ÁREA: MATEMATICA | GRADO: 11° |
DOCENTE: ENAIDO MALDONADO POLO | CORREO: matematica. ceqa@gmail.com | |
FECHA: DEL 16 DE OCTUBRE DEL 2024 | PERIODO: CUARTO | |
VALOR: LA AMISTAD Y LA PAZ | FRASE: "SOMOS INTEGRALES ASI NOS HIZO DIOSQUERIDOS AMIGOS OFRECE ESTA OPCION EDUCACION EN SABERES,VALOR Y FORMACION BUSCANDO EN NOSOTRO SIEMPRE LO MEJOR" |
FECHA: DEL 16 DE OCTUBRE DEL 2024
GRADO: 11°
TEMA: DERIVADA
SUBTEMA: DERIVADA.
LOGRO. Reconoce los diferentes tipos de variación de una función.
LA DERIVADA
Las matemáticas tienen su simbología para representar abstracciones que necesitan ser entendidas por la mente humana y la derivada no es la excepción.
La primera derivada de una función y = f(x), puede expresarse en cualquiera de las formas siguientes:
Todas ellas indican la primera derivada de (y) con respecto a (x). Además, las derivadas sucesivas pueden expresarse de la siguiente forma:
La primera derivada de (y) con respecto a (x) se define como “El límite cuando ∆x tiende a cero del cociente ∆y / ∆x”, que en símbolos matemáticos se expresa como: y’ = ∆y / ∆x. También podemos decir que la primera derivada de (y) con respecto a (x), nos expresa qué tanto varía (y) ante una variación que tenga (x). ∆x y ∆y se refieren a esa variación.
Vamos a ver una gráfica que nos ayude a interpretar el concepto de derivada de forma geométrica.
Cuando h tiende a cero, es decir, empieza a disminuir su longitud, puedes ver que el punto Q empieza a aproximarse al punto P, y el cateto QR empieza a disminuir, hasta que Q se confunde con P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por lo tanto en ángulo α tiende a ser β.
Geométricamente, la primera derivada de una función f(x) en un punto dado a es igual a la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto a. A partir de la interpretación geométrica de la derivada se puede deducir la regla general de la derivación, veamos como:
De la figura 10.1 observamos que la pendiente de la secante se define como:
ms = tanα.
Si h = ∆x, del triángulo QRP tenemos que ms = ∆y / ∆x. Del mismo proceso de desplazamiento del punto Q sobre la curva, aproximándose cada vez más al punto P, observamos como ∆x tiende a cero (disminuye), y la recta secante tenderá a convertirse en una recta tangente. Matemáticamente expresamos lo anterior así:
Generalizando la expresión (2) obtenemos la Regla general de la derivación:
En donde:
f(x+∆x) es la función incrementada,
f(x) es la función original y
∆x es el incremento en x.
Vamos a obtener la primera derivada de diferentes funciones usando esta regla general de la derivación.
Ejercicios: Calcule la primera derivada de cada una de las siguientes funciones aplicando la regla general de la derivación. Los que no están resueltos, resuélvelos en la libreta y compara el resultado.
¿Alguna duda sobre el tema?
Conclusión
En resumen, en esta clase conocimos la interpretación geométrica de la derivada. Aprendimos que, a partir de dos puntos en una curva, trazamos una recta secante que nos permitirá trazar un triángulo cuyos catetos miden ∆x y ∆y. Al hacer cada vez más pequeño el valor ∆x, se observa que ∆y también disminuye, y cuando ∆x tiende a cero, el punto superior de la secante se traslapa en su movimiento con el punto fijo inferior, con lo cual la secante pasa a ser una recta tangente, porque ahora solo se observa que toca a la curva en un solo punto. Haciendo un análisis matemático de lo anterior, se encuentra la definición de la pendiente tangente a la función que se está estudiando.
La expresión se generaliza para obtener la primera derivada de la función:
Una definición generalizada de la derivada es la siguiente: La derivada es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. Así como que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
ACTIVIDAD.
EN CASA:
CALCULE LA PRIMERA DERIVADA DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
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